Матрицалар оларға амалдар қолдану.Матрица д/з- m жолдан n бағаннан құралатын сандық кестені айтамыз.Оны латынның үлкен әрпімен...

Информация о документе:

Загрузил(а): Аноним
Имя файла: matricalar_olar_a_amaldar_oldanu_matrica_d_z-_m_zh.docx
Размер файла: 800 кб
Дата загрузки файла: 25/09/2013 в 00:45
Количество просмотров: 176
Рейтинг: 0, всего 0 оценок

Матрицалар оларға амалдар қолдану.Матрица д/з- m жолдан n бағаннан құралатын сандық кестені айтамыз.Оны латынның үлкен әрпімен...

  1. Матрицалар оларға амалдар қолдану.Матрица д/з- m жолдан n бағаннан құралатын сандық кестені айтамыз.Оны латынның үлкен әрпімен белгілейміз- Аmxn.Матрицаның элементтерін латынның кіші әріптерімен белгілейміз.аij- матрица элементі,бұл жердегі i-жол,j-баған.Яғни:

түріндегі тіктөртбұрышты кесте өлшемді матрица немесе-матрицасы деп,ал- матрицаның элементтері деп аталады.Егер m=n б/са онда ол квадраттық матрица деп аталады:B3x3 A4x4:m=n тең болған жағдайда в11в22вmn-диагональдық элементтер.Матрицалардың бірнеше түрлері бар.Олар:диагональдық, бірлік ж/е кері матрицалар.Диагональдық матрица деп-Квадраттық матрицаның диагоналіндағы элементтері нөлден өзгеше ал қалған элементтері нөлге тең мартицаны айтамыз.Бірлік матрица д/з- диагоналіндегі элементтері бірге тең матрица. Кері матрица: В матрицасы А матрицасының кері матрицасы деп аталады егер олардың көбейтіндісі бірлік матрицаға тең болса,яғни: АхВ=Е: А=В-1

Матрицаларды элементар түрлендіру деп мына түрлендірулерді айтады:а.Матрицаның i-жолын(бағанын) к≠0 санға көбейту;б.i-жолға(бағанға) j-жолды(бағанды) к≠0 санға көбейтіп қосу.в. .i-жолмен(бағанмен) j-жолдың(бағанның) орындарын ауыстыру.Матрицаларға амалдар қолдану:а.Матрицаларды қосу.Бірдей өлшемді А ж/е В матрицаларыныңқосындысы деп өлшемі А ж/е В өлшеміндей,элементтері А ж/е В элементтерінң өосындысына тең матрицаны айтады.Бұл анықтамадан мына тепе-теңдіктер тікелей шығады:А+В=В+А А+(В+С)=(А+В)+С: (α+β)*А=α*А+β*А; α(А+В)=α*А+β*В А+0=АМатрицаларды алу.Бір өлшемді А ж/е В матрицаларының айырымы деп өлшемі А ж/е В өлшеміндей,А матрицасы мен В матрицасына қарама-қарсы матрицаның қосындысына тең матрицаны айтады ж/е А-В арқылы белгілейді.Сонымен А-В=А+(-В).Бұл анықтамадан А+(-А)=0 –(А+В)= -А-В -(-А)=А теңдіктері тікелей шығады.В.Матрицаны санға көбейтуөлшемді матрицасының санына көбейтіндісі деп өлшемді матрицасын айтамыз, мұндағы .D.Матрицаларды бір-бірімен көбейту.А ж/е В матрицасының көбейтіндісі депөлшемді матрицасы мен өлшемді матрицаларының көбейтіндісі деп өлшемді матрицасын айтамыз, мұндағы , , .Е с к е р т у.Матрицаларды көбейте аламыз тек сол жағдайда ғана, егер бірінші көбейгіш матрица бағанының саны екінші көбейткіш матрицаның жолының санына тең болса.Егер және көбейтінділері табылса, онда жалпы жағдайда .










2. 2 ретті анықтауыштар, қасиеттері.-ші ретті анықтауыш немесе детерминант деп

(1)

түрінде жазылған және төмендегідей формуламен есептелінетін санды айтамыз:

(2)

мұндағы қосынды алмастыруының барлық


мүмкін әртүрлі мәндері үшін таралған.(2)-


дегі қосылғыштар саны тең.Көрсетілген екінші

анықтама 2 ретті анықтауыштарға да қолданылатыны

белгілі,яғни:

a11,a12,a21,a22-анықтауыштың элементтері. а11 және а22 бас диагональді құрайды , а12 және а21 – қосымша диагональдың элементтері.Немесе 2ретті анықтауышарды Екі белгісізі бар сызықтық екі теңдеу жүйесін құрастыру арқылы да қорытып шығаруға болады.Мысалы Ол үшін

Белгісіздерді анықтау үшін бірінші теңдеуді а 22 көбейтіп, ал екінші теңдеуді- a12 көбейтіп екі теңдеуді қосып белгісіз х-ті табамыз. (a11a22-a12a21)x=b1a22-b2a12oсындай операцияны жасап белгісіз у-ті анықтаймыз: (a11a22-a12a21)y=b22a22-b1a21 .Соңғы екі теңдеулерден х және у айнымалыларды анықтаймыз:

(1.2) формулалардапайдаболған a11a22-a12a21, b22a22-b1a21, a11b2-b1a21

өрнектерді2-шіреттіанықтауыштардепатайды.Яғни:Көріп отырғанымыздай дәл екінші анықтамадағыдай өрнек шығып отыр.Егер анықтауыштарды:


белгілесек онда (1.2) формулалары келесі түрге келтіріледі:

Айнымалылардың алдында тұрған коэффициентерінен құрылған анықтауышын жүйенің бас анықтауышы деп атайды. Ал ∆х анықтауышы бас анықтауыштың бірінші бағандағы элементтерін жүйенің бос мүшелерімен алмастырылып құралады, ал - ∆yекінші бағанның элементтерін бос мүшелерден құралған бағанмен алмастырады.

(1.4) формуларынКрамерформуласыдепатайды.Мысалы:

Анықтауыштың негізгі қасиеттері:

1. Анықтауыштың жолдарын оның сәйкес бағандарымен орын алмастырғаннан ол анықтауыштың сан мәні өзгермейді.

2. Егер анықтауыштың екі жолын (бағанын) бірімен-бірінің орындарын алмастырса онда анықтауыш таңбасы қарама-қарсы таңбаға ауысады.

3. Егер анықтауыштың кез-келген екі жолы өзара тең болса, онда ол нөлге тең болады.

4. Егер анықтауыштың қандай да болса бір жолының барлық элементтері нөлге тең болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.

5. Анықтауыштың жолының немесе бағанының элементтерінің ортақ көбейткішін анықтауыш алдына шығаруға болады.

6. Егер анықтауыштың екі жолының элементтері өзара пропорционал болса онда анықтауыш нөлге тең.

7. Анықтауыштың қандай да болса бір жолының элементтерін олардың сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қосқаннан шыққан қосынды анықтауыш шамасына тең болады.

8. Егер анықтауыштың бір жолының элементтері екі қосылғыш арқылы берілген болса, онда анықтауыш екі анықтауыштың қосындысына тең болады. Бірінші анықтауыштың сәйкес жолында бірінші қосылғыш, екінші анықтауышта екінші қосылғыш.

9. Егер анықтауыштың қандай болса да бір жолының элементтерін бір ғана санына көбейтіп басқа бір жолының сәйкес элементтеріне қосса, онда бұдан анықтауыш шамасы өзгермейді.
















3.үш белгісізді сызықтық теңдеулер жүйесі.

Үш белгісізді сызықты үш теңдеулер жүйесі.Бізге белгісізді сызықтық үш теңдеулер

жүйесі берілсін дейік.Жүйенің коэффициенттері мен босмүшелері нақты сандар болсын.Егер сандар үштігін теңдеулер жүйесіндегі белгісіздерінің орнына қойғанда,ол жүйенің әр теңдеуін теңбе теңдікке айналдыратын болса,онда үштігі жүйенің шешәмә деп аталады.Мына белгілеулер

Анықтама.n-ретті квадрат матрицаның –жатық жолы мен –тік жолын сызып тастағаннан кейін пайда болған (n–1)-ретті анықтауықты элементінің миноры деп атайды және деп белгілейді.

Үшінші ретті марицаның элементінің миноры мынадай екінші ретті анықтауыш болады:.





4.Кері матрицаны есептеу,мысал.А текше матрицасы қайтымды емес немесе ерекше матрица деп аталады, егерdetA=0, кері жағдайда қайтымды немесе ерекше емес матрица деп аталады. Егер A -қайтымды матрица болса, онда A-1матрицасы табылады және ол тек біреу ғанаболып, төмендегі теңдік орындалады:мұндағы E –бірлік матрица. A-1 A-1матрицасы кері матрица деп аталады және төмендегі формула бойынша есептелінеді:

мұндағы -матрицасының алгеб.толықтауышы.Элементтері А матрицасының элементтерінің алгебралық толықтауыштары болатынматрицаны көмекші матрица деп атаймыз ж/е былай белгілейміз.А матрицасының жолдарын сәйкес бағандарымен алмастырғаннан пайда болған матрицаныА матрицасын транспонирлеу деп атаймыз(тоқсан градусқа бұрылған) және былай белгілейміз:АТ.Онда кері матрицаны былай жазуға болады:Ал бұл жердегі матрица элементтерінің толықтауышы д/з- Аij=(-1)i+j•Mij.Кері матрицаға мысал:

Мысал. матрицасыныңкеріматрицасын табу керек.

Шешуі. Алдыменанықтауышынесептейік.


==.


, яғни кері матрица бар. Енді элементтердің алгебралық толықтауыштарын есептейік.


, ,


, ,


, ,


, ,


.


Табылған мәндерді формулаға қойып кері матрицаны табамыз.



.


Кері матрицаның дұрыс табылғандығын теңдігін тексеру арқылы көз жеткізуге болады:


.

МАТРИЦА РАНГІСІ


mxnөлшемді А матрицаның бірнеше жатық және тік жолдарын сызып тастап k өлшеміді, kmin(m,n),квадрат матрица алуға болады. Осы квадрат матрица анықтауышы берілген матрицаның k өлшемді миноры деп аталады. матрицаның k-өлшемді минорлар саны болады.

Анықтама. Матрицаның нолге тең емес минорларының ең үлкен реті матрица рангісідеп аталады:


r=r(A)= rangA .


Анықтамадан бірден мынадай тұжырымдар жасауға болады:

1. матрицасының рангісі оның өлшемдерінің кішісінен артпайды:


r(A)min(m,n).


2. Барлық элементтері ноль болғанда ғана (нолдік матрица) матрица рангісі ноль болады.

3. n–ретті квадрат матрица ерекше емес болғанда матрица рангісі n–ге тең болады.

Мысал. матрицаның рангісін есептейік.

Шешуі. Матрица өлшемі 3х4болғандықтан, оның рангісі 3-тен артпайды, r(A)min(3,4). Егер үшінші ретті минорлардың ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болса, онда матрица рангісі 3-ке тең болады. Үшінші ретті минорлар матрицаның бір тік жолын сызып тастағанда пайда болады:


, , , .


Үшінші ретті минорлардың бәрі нолге тең болғандықтан, ранг 3-ке тең бола алмайды. Енді екінші ретті минорлардың ішінен (олардың саны ) ең болмағанда бір нолге тең емес минор тапсақ, матрица рангісі 2-ге тең болады. Екінші ретті минорлар матрицаның бір жатық, екі тік жолын сызып тастағанда пайда болады. Айталық бірінші жатық жол мен бірінші және екінші тік жолдарды сызып тастағанда пайда болатын мына минор: , сондықтан r(A)=2.

Матрица өлшемі артқан сайын оның рангісін барлық нолден өзге минорларды есептеу жолымен анықтау қиындайды. Матрица рангісін элементар түрлендірулер әдісімен табу ондай қиындықтардан құтқарады.

Теорема.Элементар түрлендірулер матрица рангісін өзгертпейді.

Дәлелдеуі. Матрицаға элементар түрлендірулер жүргізгенде оның анықтауышы не өзгермей сақталады, не нолге тең емес санға көбейтіледі. Яғни, оның реті өзгермейді деген сөз. Олай болса, нолден өзгеше минорлардың немесе матрица рангісінің реті де өзгермейді.

Осы теореманы ескеріп, элементар түрлендірулер жасап, берілген матрицаны барлық диагоналдік элементтері нолден өзгеше болатындай етіп сатылы түрге келтіреміз:


,


мұндағы rп. Осы шарттың орындалуын матрицаны транстонерлеу арқылы қамтамасыз етуге болады.

Сонда матрицаның r–ретті нолден өзге миноры



бар болады да, матрица рангісі r-ге тең болады, яғни


r(A)=r.


Мысал. матрицасының рангісін есептейік.


Шешуі. Элементар түрлендірулер көмегімен матрицаны сатылы түрге келтіреміз.

.

Соңғы матрица сатылы түрге келді және онда нолге тең емес үшінші ретті минор бар екенін бірден көруге болады:

. Сонымен матрица рангісі 3-ке тең, r(A)=3.

Крамер ережесі мысалдаркелтіру. белгісізі бар сызықты қалгебралық теңдеулер жүйесі деп мына түрде берілген жүйені айтамыз:

Мұндағы а11а12,.аmn– теңдеулержүйесініңкоэффиценттері ,b1,b2,bm - бос мүшелері,xj-белгіісіздердепаталады . сандары (2) жүйесініңшешімдерідепаталады, егербұлсандардытеңдеудегісәйкесбелгісіздердіңорнынақойғанда, осы жүйедегі тепе-теңдіктерорындалса. . (2) жүйесіүйлесімдідепаталады, егероныңтымболмағандабіршешімітабылса, керіжағдайдажүйеүйлесімсіздепаталады.(Кронекер-Капеллитеоремасы).Үйлесімді (2) жүйесінің тек бірғанашешімдерітабылса, ондажүйеанықталғандепаталады, керіжағдайдажүйеанықталмағандепаталады.Егер , онда (2) жүйесінбіртектестеңдеулержүйесідепатаймыз.Егер осы сызықтықтеңдеудіматрицалықәдіспенжазатынболсақ:

Кронекер-Капеллитеоремасы. (2) жүйесіүйлесімдіболуыүшінтеңдігініңорындалуықажеттіжәнежеткілікті, мұндағы

- (2) жүйесініңкеңейтілгенматрицасыдепаталады.(2) теңдеулержүйесініңәрбіртеңдеуі осы теңдеудіңкоэффиценттеріменбірмәндіанықталатындықтан, матрицасыныңжолдарынвектордыңкоординаталарыретіндеқарастыраотырып, - (2) жүйесініңсызықтықтәуелсізтеңдеулерсанынатеңболатындығынакөзжеткіземіз . жәнежағдайынқарастыралық. Онда (2) жүйесіанықталғанжәне осы теңдеулержүйесіншешуүшінкелесіәдістердіқарастырамыз.Крамерережесі:Крамерережесімынадай формула арқылыанықталады: , мұндағы - Δмұндағы - Δанықтауыштағы -шібағанды бос мүшелербағаныменалмастырғаннанпайдаболғананықтауыштар.Оныменқатарматрицалардышешудіңматрицалық ж/е гаусәдісібар.Берілген n- белгісізді n сызықтытеңдеулержүйесінматрицатүріндежазамыз,яғни:AX=B.Бұлтәсілбойынша, негізгі А матрицасынакері А-1 матрицасынтауып, оны Вбаған-матрицағасолжағынанкөбейтеміз, яғнишешімікелесітүрдежазылады: X=A-1B. Гаусс әдісі:Айталық n белгісізді n-теңдеулержүйесіберілсін.Бұлтәсілдіңнегізгімақсатыайнымалылардыбіртіндепжою. Олүшінкеңейтілгенматрицаныалып, оныңнегізгібөлігін, оңжағынескереотырып, үшбұрыштыматрицатүрінекелтіреміз.Кейінненэквиваленттіматрицағасәйкестеңдеулержүйесінжазып,Осыжүйеденхnтауып, біртіндепжоғарылай х n-1,х n-2,х2,х1-ді табамыз. КрамергеМысал.

Шешуі. Алдымен анықтауышты есептейміз,

.

(j=1,2,3)анықтауыштарды есептейік

, ,


Енді Крамер формуласын қолданып белгісіздерді табамыз:


, , .



6.СЫЗЫҚТЫ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ


Негізгі ұғымдар мен анықтамалар. n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе деп мынадай жүйені айтады:


(1)


мұндағы (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) - теңдеу коэффициенттері деп, ал (i=1,2,…,m) - бос мүшелері деп аталады. (1) теңдеудің қысқаша жазылуы мынадай:


(i=1,2,…,m) (1’)


  1. жүйенің бос мүшелерінің бәрі нолге тең болса,


(i=1,2,…,m) (2)


жүйе біртекті жүйедеп аталады.

Жүйенің әрбір теңдеуін тепе-теңдікке айналдыратын



сандар тізбегі теңдеулер жүйесінің шешімідеп аталады. Осы шартты қанағаттандыратын барлық шешімдер шешімдер жиынынқұрады. Жүйенің шешімдер жиынын табу процесін жүйені шешу дейді.

(1) жүйенің ең болмағанда бір шешімі болса жүйе үйлесімді, ал шешімі болмаса үйлесімсіздеп аталады.

Үйлесімді жүйенің бір ғана шешімі болса, жүйе анықталған, ал шешімі бірден көп болса анықталмағандеп аталады.

Енді (1) жүйеге мынадай белгілеулер енгізейік:


, ,

А - жүйе коэффициенттерінен құрылған матрица немесе жүйе матрицасы, Х - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица, В - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица. Осы белгілеулерді қолданып (1) жүйені былайша жазуға болады:


АХ=В (3)


(3) теңдеу (1) жүйенің матрицалық жазылуы болып табылады.

Егер жүйе матрицасына бос мүшелер матрицасын жалғап жазсақ,

,

жүйенің кеңейтілген матрицасыналамыз.

Кронеккер-Капелли теоремасы. Егер сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасы мен кеңейтілген матрицасының ранглері тең болса, онда жүйе үйлесімді болады.

Теорема бойынша жүйе үйлесімді болуы үшін болуы керек. Бұл кезде rжүйе рангісідеп аталады.

Үйлесімді жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санына тең болса (r=n), онда жүйе анықталған болады, ал егер жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса (r<n), онда жүйе анықталмаған болады.

Мысалы, мынадай жүйе қарастырайық:



Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:




Жүйе матрицасы мен кеңейтілген матрицаның екінші ретті нолге тең емес минорлары бар екенін көру қиын емес және . Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша жүйе үйлесімді.

Жүйе рангісі r=2, ал белгісіздер саны n=4, r<nболғандықтан жүйе анықталмаған, яғни шексіз көп шешімі бар.

Енді жүйені шешу мәселесіне көшейік.

ЖҮЙЕ ШЕШУДІҢ ГАУСС ӘДІСІ


n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе қарастырайық,


.


Гаусс әдісі - жүйедегі айнымалыларды түрлендірулер көмегімен біртіндеп жойып, жүйені сатылы түрге келтіріп, айнымалыларды біртіндеп табатын әдіс. Гаусс түрлендірулері мынадай:

  1. Кез келген екі теңдеудің орындарын ауыстырып жазу;

  2. Кез келген теңдеудің екі жағын нолден өзге санға көбейту;

  3. Қандай да бір теңдеуді нолден өзге санға көбейтіп, басқа теңдеуге сәйкесінше қосу;

  4. 0=0 түріндегі теңдеуді сызып тастау.

Гаусс түрлендірулерін жүйенің өзіне қолданғаннан гөрі оның кеңейтілген матрицасына қолданған ұтымды болады. Олай болса жүйенің кеңейтілген матрицасын қарастырайық,

.


Осы матрицаны түрлендірулер нәтижесінде мынадай түрге келтіреміз:

Матрицаның элементтері арқылы белгіленіп тұрғанымен, шын мәнінде олар түрлендірулер нәтижесінде өзгерген. Бұл белгілеулер жазуды ықшамдау үшін ғана пайдаланылып отыр.

Соңғы матрицаға сәйкес келетін теңдеулер жүйесі мынадай:


(6)


Соңғы , ..., теңдеулеріндегі , ..., сандарының ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше болса, онда берілген теңдеулер жүйесі үйлесімсіз, ал бәрі нолге тең болса жүйе үйлесімді болады.

Жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса, онда жүйе анықталмаған болатыны жоғарыда айтылған. Айталық (6) жүйе үйлесімді және r<n болсын.

Егер коэффициенттерінен құрылған анықтауыш нолден өзгеше болса, онда айнымалыларды базистік (негізгі) айнымалылардеп, ал басқа n-r айнымалыларды еркін (негізгі емес) айнымалылардеп атайды.

Еркін айнымалылары нолге тең болған кездегі шешім базистік шешімдеп аталады. Базистік шешімдер саны -ден артпайды.


Бірнеше мысал қарастырайық.

1-мысал.


Шешуі. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:




.


Соңғы матрицаға сәйкес келетін жүйе жазайық:

Сонымен жүйенің шешімі табылды:







7.Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері (екі нүктенің арақашықтығы; берілген кесіндіні белгілі қатынаста бөлу). Екі нуктенін ара қашықтығы

Жазықтықта және екі нүкте берілсін. Осы екі нүкте арақашықтығын, немесе АВ кесіндісінің ұзындығын, мына формуламен есептейді:

.


Кесіндіні берілген қатынаста бөлу

Жазықтықта және екі нүкте берілсін. АВкесіндісін АМ:МВ=болатындай қатынаспен бөлетін М(х,у)нүктесінің координаталары мынадай формуламен есептелінеді:

, . Дербес жағдайда, АВ кесіндісін тең екіге бөлу керек болса, яғни =1:1=1, формула былай түрленеді: , .
























8.Векторлар оларға қолданылатын сызықты амалдар,екі вектордың скаляр көбейтіндісі.Вектор деп басы нүктесі, ұшы нүктесі болатын бағытталған кесіндісін айтамыз.болсын. Ондавекторының ұзындығы (модулы) деп кесіндісінің ұзындығын айтамыз. векторлары берілсін. Онда.

Векторлар тең деп аталады, егер олардың ұзындықтары тең болса және бірдей бағытталған болса. 4. Бір түзудің бойында немесе параллель түзулердің бойында жататын векторлар, коллинеар (параллель) векторлар деп аталады және былай белгіленеді:. 5.Егер А ж/е В нүктелері беттесетін болса, ондаонда немесе нөлдік вектор. 6.Егер , онда - бірлік вектор. 7.векторлары компланар деп аталады, егер олар бір жазықтықта жатса не параллельжазықтықтарда орналасқан болса. 8. векторының L осіне проекциясы деп шамасын айтамыз, мұндағы - осінің бағыты мен векторының арасындағы бұрыш. 9.санының векторына көбейтіндісідеп ұзындығы-ға тең болатын және болғанда бағыты векторымен бағыттас, ал болғанда векторына қарама-қарсы бағытталатын векторды айтамыз. Төмендегі қорытындылар бірден анықтамадан шығады: а) Егер , ондатеңдігі орындалатын саны табылады б) Егер және олар қарама-қарсы бағытталған болса, сонымен қатар, болса, онда немесе .векторының бағыттаушы косинустары деп сандарын айтамыз, мұндағы - векторының сәйкесінше координат осьтерімен жасайтын бұрыштары. Бағыттаушы косинустар . Бұдан.векторының векторына векторлық көбейтіндісі деп төмендегі теңдіктерді қанағаттандыратын векторын айтамыз:Векторлық көбейтіндінің қасиеттері: Егер , онда

Векторлық көбейтіндінің координаталық формадағы өрнектелуін табалық. болсын. Онда екенін ескерсек:

Векторларды векторлық көбейтудің көмегімен олардың коллинеарлығы: және векторларынан құрылған параллелограммның ауданы табыладыВекторларды скаляр көбейту және оның қасиеттері.және векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыш косинусының көбейтіндісіне тең болатын санды атайды.Ол мынадай формула бойынша есептелінеді:

Скаляр көбейтудің қасиеттері: 1.Егер , онда 2.3. 4.5. Скаляр көбейтудің координаталық формадағы өрнектелуін табалық. болсын. Онда екенін ескерсек,.Немесе мынадай теңдік шығады.Қорыт ынды. Векторларды скаляр көбейтудің көмегімен мыналар анықталады:1.Екі вектордың перпендикулярлығы 2.Векторлар арасындағы бұрыштың косинусыБір вектордың екінші векторға түсірілген проекциясы


9.Жазықтықтағы түзудің теңдеуі.Жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуі- түзуінің нормаль векторы.Егер , онда (4)-тен шығады, яғни бұрыштық коэффиценті бойыншаберілген теңдеу, мұндағы - бұрыштық коэффицент, ол түзудің осімен жасайтын бұрышыныңтангенсіне тең.Егер - онда түзу координатаның бас нүктесі арқылы өтеді.

  1. Егер - онда.

  2. Егер - онда.

  3. - координата осьтерінің теңдеулері.Екі нүкте и арқылы өтетін түзудің теңдеуі - түзудің ағымдық нүктесі болсын. Онда . Векторлардың коллинеар болу шартын ескерсек: . 2.Түзудің «кесіндідегі» теңдеуі. Түзудің координат осьтерімен қиылысу нүктелерінің координаталары және болсын. (5)теңдігіне қойсақ: .3.

Екітүзуарасындағыбұрыш. Екітүзу берілсін: y=k1x+b1, y=k2x+b2. Мұндағы , . Екі түзу арасындағы бұрышты табу керек (9-сурет).

Суреттенкөрініптұрғандай. Осыдан



немесе


(7)

(7) формула берілген екі түзу арасындағы бұрышты анықтайды. Ал екінші бұрыш тең болады.



Нүктедентүзугедейінгіқашықтық. Тікбұрыштыкоординаталаржүйесіндеқандай да біртүзуАх+Ву+С=0жәнетүзудентысжатқаннүктеМ(х0,у0)берілсін (10-сурет).


Нүктедентүзугедейінгіқашықтықдепнүктедентүзугетүсірілген перпендикуляр ұзындығынайтамыз. Суреттеолd=MN. Осы ара қашықтықты табу үшін: а) Берілгентүзуге перпендикуляр жәнеМ(х0,у0) нүктесіарқылыөтетінтүзутеңдеуінтауыпаламыз; б) Берілгентүзу мен MNтүзулерініңтеңдеуінжүйеетіпшешіп, олардыңқилысунүктесіNтабамыз; в) екінүктенің ара қашықтығынесептейтін формула көмегіменd=MN ара қашықтықтыесептейміз. Нәтижесіндемынадай формула алынады:


(10)


Мысал.ТөбелеріА(1;1), В(7;4), С(4;5)болатынүшбұрыштың

а) АВ қабырғасыныңұзындығын;

б) АВ және АС түзулерініңтеңдеуін;

в) А ішкібұрышын;

г) С төбесіненжүргізілгенбиіктік пен медиана теңдеулерін;

д) С төбесінен АВ қабырғасынадейінгіқашықтықты табу керек.

Шешуі. а) Кесіндіұзындығынесептейтін формула бойынша АВ қабырғасыныңұзындығынесептейміз:



б) АВ түзуініңтеңдеуінформуланыпайдаланыптабамыз. Мұндағыжәненүктелер Ажәне В нүктелерініңкоординаталарыболады: , ықшамдасақ,


теңдеуіналамыз.

Дәл осы жолмен АС түзуініңтеңдеуіналамыз: , осыдан.

в) А ішкібұрышынесептеуүшін (7) формуланыпайдаланамыз. Олүшін АВ және АС түзулерініңкоэффициенттеріналдыңғыпункттегітеңдеулеріненаламыз да,

, , (7) формулағақоямыз:

,

осыдан .

г) С төбесіненжүргізілгенбиіктікті СD дейік. СD теңдеуінжазуүшінy =k(x – x1)+ y1 теңдеуді пайдаланамыз. нүктеніңорнына С нүктесінің координатасын қойсақ осы нүкте арқылы өтетін түзулер шоғының теңдеуін аламыз: y =k(x -4)+ 5. Осы шоқтан АВ түзуіне перпендикуляр түзу теңдеуін таңдап алу үшін СD биіктіктің АВ түзуге перпендикуляр болатынынескеріптабылады да, түзулер шоғы теңдеуіндегі орнына қойылады: y =-2(x -4)+ 5 . Ықшамдап СD биіктіктеңдеуіналамыз,


y =-2x+13.


СЕ медиана теңдеулерінжазуүшін АВ кесіндісініңортасындажатқанЕнүктесініңкоординаталарынтабамыз:


, , Е=(4; 2,5).


Екі нүкте арқылы өткен түзу теңдеуін пайдаланып медиана теңдеуін аламыз:

,


осыданх=4 СЕ теңдеуіболады.

д) С төбесінен АВ қабырғасынадейінгіқашықтықты табу үшін, АВ теңдеуін

x - 2y + 1 = 0


түріндежазыпалып, (10) формуланыпайдаланамыз:


.














10.Жазықтықтағы түзудің теңдеуі.Жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуі- түзуінің нормаль векторы.Егер , онда (4)-тен шығады, яғни бұрыштық коэффиценті бойыншаберілген теңдеу, мұндағы - бұрыштық коэффицент, ол түзудің осімен жасайтын бұрышыныңтангенсіне тең.Егер - онда түзу координатаның бас нүктесі арқылы өтеді.

  1. Егер - онда.

  2. Егер - онда.

  3. - координата осьтерінің теңдеулері.Екі нүкте и арқылы өтетін түзудің теңдеуі - түзудің ағымдық нүктесі болсын. Онда . Векторлардың коллинеар болу шартын ескерсек: . 2.Түзудің «кесіндідегі» теңдеуі. Түзудің координат осьтерімен қиылысу нүктелерінің координаталары және болсын. (5)теңдігіне қойсақ: .3.

Екітүзуарасындағыбұрыш. Екітүзу берілсін: y=k1x+b1, y=k2x+b2. Мұндағы , . Екі түзу арасындағы бұрышты табу керек (9-сурет).

Суреттенкөрініптұрғандай. Осыдан



немесе


(7)

(7) формула берілген екі түзу арасындағы бұрышты анықтайды. Ал екінші бұрыш тең болады.



Нүктедентүзугедейінгіқашықтық. Тікбұрыштыкоординаталаржүйесіндеқандай да біртүзуАх+Ву+С=0жәнетүзудентысжатқаннүктеМ(х0,у0)берілсін (10-сурет).


Нүктедентүзугедейінгіқашықтықдепнүктедентүзугетүсірілген перпендикуляр ұзындығынайтамыз. Суреттеолd=MN. Осы ара қашықтықты табу үшін: а) Берілгентүзуге перпендикуляр жәнеМ(х0,у0) нүктесіарқылыөтетінтүзутеңдеуінтауыпаламыз; б) Берілгентүзу мен MNтүзулерініңтеңдеуінжүйеетіпшешіп, олардыңқилысунүктесіNтабамыз; в) екінүктенің ара қашықтығынесептейтін формула көмегіменd=MN ара қашықтықтыесептейміз. Нәтижесіндемынадай формула алынады:


(10)


Мысал.ТөбелеріА(1;1), В(7;4), С(4;5)болатынүшбұрыштың

а) АВ қабырғасыныңұзындығын;

б) АВ және АС түзулерініңтеңдеуін;

в) А ішкібұрышын;

г) С төбесіненжүргізілгенбиіктік пен медиана теңдеулерін;

д) С төбесінен АВ қабырғасынадейінгіқашықтықты табу керек.

Шешуі. а) Кесіндіұзындығынесептейтін формула бойынша АВ қабырғасыныңұзындығынесептейміз:



б) АВ түзуініңтеңдеуінформуланыпайдаланыптабамыз. Мұндағыжәненүктелер Ажәне В нүктелерініңкоординаталарыболады: , ықшамдасақ,


теңдеуіналамыз.

Дәл осы жолмен АС түзуініңтеңдеуіналамыз: , осыдан.

в) А ішкібұрышынесептеуүшін (7) формуланыпайдаланамыз. Олүшін АВ және АС түзулерініңкоэффициенттеріналдыңғыпункттегітеңдеулеріненаламыз да,

, , (7) формулағақоямыз:

,

осыдан .

г) С төбесіненжүргізілгенбиіктікті СD дейік. СD теңдеуінжазуүшінy =k(x – x1)+ y1 теңдеуді пайдаланамыз. нүктеніңорнына С нүктесінің координатасын қойсақ осы нүкте арқылы өтетін түзулер шоғының теңдеуін аламыз: y =k(x -4)+ 5. Осы шоқтан АВ түзуіне перпендикуляр түзу теңдеуін таңдап алу үшін СD биіктіктің АВ түзуге перпендикуляр болатынынескеріптабылады да, түзулер шоғы теңдеуіндегі орнына қойылады: y =-2(x -4)+ 5 . Ықшамдап СD биіктіктеңдеуіналамыз,


y =-2x+13.


СЕ медиана теңдеулерінжазуүшін АВ кесіндісініңортасындажатқанЕнүктесініңкоординаталарынтабамыз:


, , Е=(4; 2,5).


Екі нүкте арқылы өткен түзу теңдеуін пайдаланып медиана теңдеуін аламыз:

,


осыданх=4 СЕ теңдеуіболады.

д) С төбесінен АВ қабырғасынадейінгіқашықтықты табу үшін, АВ теңдеуін

x - 2y + 1 = 0


түріндежазыпалып, (10) формуланыпайдаланамыз:


.










ВЕКТОРЛЫҚ КЕҢІСТІКТІҢ ӨЛШЕМІ ЖӘНЕ БАЗИСІ


R сызықты кеңістіктің векторларыx, y, z, …, u болсын. Мынадай

v=x+y+z+…+u

теңдікпен анықталған vвекторы осы кеңістікте жатады, мұндағы -нақты сандар. Осы v векторды x, y, z, …, u векторларының сызықты комбинациясыдеп атайды.

Айталық x, y, z, …, u векторларының сызықты комбинациясы 0ноль вектор болсын, яғни


x+y+z+…+u= 0. (1)


Анықтама.(1) теңдік барлық===…==0болған кезде ғана орындалса х, y, z, …, u векторлары сызықты тәуелсіздеп аталады. Ал егер (1) теңдік ,,,…,сандарының ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болғанда орындалса х, y, z, …, u векторлары сызықты тәуелдідеп аталады.

Мынадай тұжырымның дұрыстығына көз жеткізу қиын емес: Егер x, y, z, …, u векторлар сызықты тәуелді болса, онда бұл векторлардың біреуі басқаларының сызықты комбинациясы арқылы жіктеледі. Және керісінше, егер x, y, z, …, u векторлардың біреуі басқаларының сызықты комбинациясы арқылы жіктелсе, онда бұл векторлар сызықты тәуелді болады.

Жазықтықтағы коллинеар емес екі вектор сызықты тәуелсіз векторға мысал болады. Шынында да, жазықтықтағы және векторлары үшін (1) теңдік

+=0

тек ==0 болғанда ғана орындалады. Ал, олай демесек, мысалы болса,онда =-болып, пен векторларының коллинеарлығын білдірген болар еді. Ал бірақ жазықтықтағы кез келген үш вектор сызықты тәуелді болады.

Векторлық кеңістіктің қасиеттері:

1.Егер x, y, z, …, u векторларының ішінде ноль-вектор бар болса, онда бұл векторлар сызықты тәуелді болады. Шынында да, егер, мысалы, x=0болса, онда (1) теңдік

=1,==…==0 болғанда орындалады.

2. Егер x, y, z, …, u векторларының қандай да бір бөлігі сызықты тәуелді болса, онда бұл векторлардың бәрі сызықты тәуелді болады.Шынында да, мысалы, y, z, …, u векторлары сызықты тәуелді болсын десекy+z+…+u=0 теңдік ,,…,сандарының бәрі бір мезгілде нолге тең болмағанда орындалып тұр деген сөз. Олай болса бұл теңдік сол ,,…,сандары және =0саныменде орындалады.

Мысалқарастырайық. x=(3,2,-1), y=(2,-1,3), z=(1,3,-4) векторлары сызықты тәуелді ме ?

Шешуі. x, y, z векторлары сызықты тәуелді болады, егер


x+y+z= 0


теңдігі ,,сандарының ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болғанда орындалса. x, y, zвекторларын бағана түрінде жазып, теңдікті ашып жазайық:

++= 0


Есеп мынадай жүйені шешуге келтірілді:





Жүйе біртекті, яғни оның нолдік шешімі әруақытта бар. Жүйені Гаусс әдісімен шешіп жүйенің нолдік емес шексіз көп шешімін табуға болады:

, ,


мұндағы С-ерікті нақты сан.

Сонымен, берілген векторлар үшін (1) теңдік ,,сандарының ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болғанда (айталық, , (С=1)) орындалып тұр, олай болса берілген векторлар сызықты тәуелді.

Анықтама.Егер R сызықты кеңістікте n сызықты тәуелсіз вектор бар болып, ал осы кеңістіктің кез келген n+1 векторы сызықты тәуелді болса, онда R кеңістіктіn өлшемді деп атайды. Кейде кеңістік өлшемі n-ге тең дейді де, dim(R)=n деп немесе Rnдеп жазады.

Анықтама.п өлшемді векторлық кеңістіктің п сызықты тәуелсіз векторларының жиыныбазис деп аталады.

Мынадай тұжырымдар дұрыс болады:

1. Егер қандай да бір векторлар базис құрса, онда осы векторлардың координаталарынан құрылған анықтауыш нолден өзгеше болады.

2. п өлшемді векторлық кеңістіктің әр бір векторы базистік векторлардың сызықты комбинациясы арқылы жазылады және бұл жазу жалғыз болады. Сонда, егер - кеңістіктің базисі болса, онда кез келген xR векторы жалғыз түрде былай жазылады:

.


Демек базисінде хвекторы сандарымен жалғыз түрде анықталады. сандар х векторының осы базистегі координаталары деп аталады.

Мысал. x=(1;3;0), y=(-1;2;1), z=(1;-1;2) векторлары базис құра ма? Егер құрса u=(2;0;1) векторын (x,y,z) базисі бойынша жікте (яғни, uвекторын x, y, zвекторларының сызықты комбинациясы арқылы жазу керек).

Шешуі. Бірінші тұжырым бойынша x, y, z векторлары базис құрса, онда осы векторлардың координаталарынан құрылған анықтауыш нолден өзгеше болуы керек:



Демек, x, y, z векторлары базис құрады екен.

Екінші тұжырым бойынша u векторы (x,y,z) базисте жіктеледі және ол жіктелу жалғыз болады:

.

x, y, z, u векторларын бағана түрінде жазып, теңдікті ашып жазайық:

++=


Есеп мынадай жүйені шешуге келтірілді:



Осы жүйені шешіп uвекторының (x, y, z)базисіндегі (,,) координаталарын табамыз. Үш белгісізді үш теңдеуден тұрған жүйені жүйе шешудің кез келген әдісімен шешуге болады. Сонда мынадай жалғыз шешім аламыз:

, , .


Сонымен, .


12.Функцияның нүктедегі шегі. Тамаша шектерАнықтама. Егер алдын ала берілген, мейілінше аз санына саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық х үшін теңсіздігі орындалса, онда А саны f(x)функциясының харгумент х0-ге ұмтылғандағы шегідеп аталады да, былай жазылады: .Анықтамадағы теңсіздікті ашсақ, мынадай қос теңсіздік аламыз:.интервалды нүктесінің -маңайыдейді. Сол сияқты теңсіздікті ашсақ: .интервалды А нүктесінің -маңайыдейді.

1-ші тамаша шек

Теорема. функциясы x=0нүктеде анықталмаған, бірақ жағдайда шегі бар және Осы шекті бірінші тамаша шек деп атайды.


Бірінші тамаша шек салдары:

1) , 2) , 3).

Мысал. а) .


б) .

Екінші тамаша шек

Теорема. функциясының жағдайда шегі бар және

Осы шекті екінші тамаша шек деп атайды. Мұндағы иррационал саны Эйлер саны екені белгілі.


Екінші тамаша шек салдары:

1) , a=e болғанда ;

2) , a=e болғанда ;

3) Мысал. а)екенін көрсет.

Шешуі. деген білгілеу енгізейік. Осыдан . Және де кезде . Енді шек есептесек .

б)

Лопиталь ережесі арқылы анықталмағандықты ашу.Теорема (Лопиталь ережесі).f(x) және g(x) функциялары () жағдайда нолге немесе шексіздікке ұмтылсын. Егер олардың туындыларының қатынасының шегі (ақырлы не ақырсыз) бар болса, функциялар қатынасының да шегі бар болады және мына қатынас орындалады:. Лопиталь ережесін қолданып ектерді есмептейік.

1. .

2.

3. .

Үшінші мысалда Лопиталь ережесін бірден қолдануға келмейді. Сондықтан, алгебралық түрлендіру көмегімен түріндегі анықталмағандықты немесе түріндегі анықталмағандықтарға келтіреміз. Осы мақсатпен х2 бөлімнің бөліміне түсірілді.

4. .Айталық деп белгілеп, теңдеудің екі жағын логарифмдейік. Теңдеудіңоңжағынесептейік:

























13. Туынды ұғымы, геометриялық және физикалық мағынасы. Функция туындысы

Көп жағдайда функция мәнін білумен қатар аргументтің өзгерісіне байланысты функцияның өзгеру жылдамдығын білу де маңызды болады.

y=f(x) функциясын қарастырайық (1-сурет).Осы функция кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын. Кез келген үшін айырма харгументтің нүктесіндегі өсімшесі деп аталады да, деп белгіленеді. Сонымен, =x =+.Ал айырма f(x) функциясының нүктесіндегі өсімшесі деп аталады да, деп белгіленеді. Сонымен, ==.



2-суретте көрсетілген y=f1(x) жәнеy=f2(x) функцияларды қарастырайық. Аргумент мәні шамаға өзгергенде бұл функциялардың мәндері де белгілі бір шамаға өзгереді. Суретте f2(x) функцияның мәні f1(x) функцияға қарағанда көп өзгереді (өседі).

Аргумент мәні бірдей шамаға өзгерген кездегі функциялардың өзгерістерін салыстыру үшін функцияның өзгеріс жылдамдығы ұғымын енгізеді. Оны орташа жылдамдық дейді де, функция өзгерісінің аргумент өзгерісіне қатынасымен анықтайды:



Орташа жылдамдық



=

Функция өзгерісі


Аргумент өзгерісі

=

Орташа жылдамдық х0 нүктесіне ғана қатысты қарастырылмай, аргумент өзгерісінен де байланысты болады. Функция жылдамдығын аргумент өзгерісінен байланыссыз қарастыру үшін функцияның нүктедегі жылдамдығын қарастырады. Функцияның нүктедегі жылдамдығын анықтау үшін х-ті х0 аргументке шексіз жақындатады, немесе . Осы кезде үзіліссіз функция өзгерісі нолге жақындайды, яғни . Нолге шексіз жақындайтын функция өзгерісінің нолге шексіз жақындайтын аргумент өзгерісіне қатынасы функцияның х0нүктедегі өзгеріс жылдамдығын береді. Функцияның х0нүктедегі осы өзгеріс жылдамдығын f(x) функциясының х0нүктедегі туындысы деп атайды:.

Анықтама.Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған кездегі шегі функция туындысыдеп аталады. Әдетте оны немесе деп белгілейді:

.Туындының геометриялық мағынасы: туындысы функциясының графигіне нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті болады. Осы жанаманың теңдеуін былай жазады: .Туындының механикалық мағынасы. Егер айнымалысын уақыт деп есептеп, функциясы дененің жүрген жолын сипаттаса, онда дененің уақытындағы жылдамдығын білдіреді.












14.Кері және күрделі функциясының туындысы. Мысалдар. Күрделі функция туындысы

f(u(x)) күрделі функция туындысы: .

u=g(x)дифференциалданатын функция болсын. Сонда


№№

y=f(x)

y=f(u(x))

1


2

3

4

, 0<a1

5

6

, 0<a1

7

8


9


10

11

12

13


14

15

Мысалы, формуласын дәлелдейік.y=lnxфункциясының өсімшесі шаманы -ке бөліп туынды анықтамасын қолданайық:

,

мұнда екінші тамаша шектің салдарын қолдандық. Формуланы анықтама бойынша дәлелдедік.

Кері функцияның туындысы

y=f(x) функциясына кері функция (x=f - 1(y)) туындысы: .






























15. Функцияның дифференциалы және жуықтап есептеуге қолдану. Мысалдар. Функцияның дифференциалы. функциясының шектелген туындысы бар болсын, онда: , демек шексіз аз шама.

Онда функцияның өсімшесі былай жазылады: . Осы теңдікте екінші қосылғыш , ке қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шама болғандықтан, бірінші қосылғыш ке эквивалентті шама болады.

Анықтама.Функцияның туындысының аргументтің өсімшесіне көбейтіндісін дифференциал деп атайды және мына түрде жазады: . Дербес жағдайда, егер болса, онда , осыдан және осыны пайдаланып дифференциалдың формуласын былай жазуға болады: . Осыдан , яғни туынды функцияның дифференциалының аргумент дифференциалына бөлінген мәніне тең.

Дифференциалды есептеу ережесі. Айталық және дифференциалданатын функциялар болсын,

  1. , мұндағыс –сан.

  2. ,

  3. , егер.

  4. Егерфункциясы нүктесінде дифференциалданатын, ал нүктесінде дифференциалданатын болса, ондакүрделі функция үшін,. Бұл ережені бірінші дифференциал формасының инварианттығы деп атайды. Дифференциалды жуықтап есептеуге қолдануға болады. Айталық, функциясы дифференциалданатын болсын, онда оның өсімшесі:

, осыдан .

Егер нүктесінде функцияның мәні берілсе, онда: .

мысал.-ты жуықтап есепте.

.


15.Функцияның дифференциалы және жуықтап есептеуге қолдану. Мысалдар. Функцияның дифференциалы. функциясының шектелген туындысы бар болсын, онда: , демек шексіз аз шама.

Онда функцияның өсімшесі былай жазылады: . Осы теңдікте екінші қосылғыш , ке қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шама болғандықтан, бірінші қосылғыш ке эквивалентті шама болады.

Анықтама.Функцияның туындысының аргументтің өсімшесіне көбейтіндісін дифференциал деп атайды және мына түрде жазады: . Дербес жағдайда, егер болса, онда , осыдан және осыны пайдаланып дифференциалдың формуласын былай жазуға болады: . Осыдан , яғни туынды функцияның дифференциалының аргумент дифференциалына бөлінген мәніне тең.

Дифференциалды есептеу ережесі. Айталық және дифференциалданатын функциялар болсын,

  1. , мұндағыс –сан.

  2. ,

  3. , егер.

  4. Егерфункциясы нүктесінде дифференциалданатын, ал нүктесінде дифференциалданатын болса, ондакүрделі функция үшін,. Бұл ережені бірінші дифференциал формасының инварианттығы деп атайды. Дифференциалды жуықтап есептеуге қолдануға болады. Айталық, функциясы дифференциалданатын болсын, онда оның өсімшесі:

, осыдан .

Егер нүктесінде функцияның мәні берілсе, онда: .

мысал.-ты жуықтап есепте.

.










25. Дифференциалданатын функциялара туралы негізгі теоремалар:

А) Ферма теоремасы. Егер f(x) фукциясы (a, b) интервалында дифференциалданып, интервалдың x=c нүктесінде өзінің ең үлкен немесе ең кіші мәнін қабылдаса, онда f ′ (c )=0 болады. Геометриялық мағынасы: функцияның графигіне (c,f(c)) нүктесінде жүргізілген жанама Охосіне параллель болады. f ′ (х )=0 болатын нүктелерді стационар нүктелер деп атайды.

В) Ролль теоремасы. Егер f(x) функциясы [a, b] кесіндісінде үзіліссіз, (a, b) интервалында дифференциалданатын және f(a)=f(b) болса, онда осы интервалдаx=c нүктесі табылып, бұл нүктеде f ′ (c )=0 болады. Геометриялық мағынасы: функция графигіне жүргізілген жанама абцисса осіне параллель болатын (a, b)интервалында нүкте табылады және бұл нүктеде функция туындысы нөлге тең болады.

С)Лагранж теоремасы. Егер f(x) функциясы [a, b] кесіндісінде үзіліссіз,

(a, b) интервалында дифференциалданатын болса, онда осы интервалда x=c нүктесі табылып,

f(b) -f(a)=(b-a) f ′ (c) теңдігі орындалады. Геометриялық мағынасы: функция графигіне жүргізілген жанама A(a, f(a))және B(b, f(b)) нүктелерден өтетін AB хордаға параллель болатын нүкте табылады. Бұл теңдік Лагранж формуласы немесе ақырлы өсімшелер формуласы деп аталады.

Д) Коши теоремасы

Егер f(x) және g(x) функциялары [ab] кесіндісінде үзіліссіз, (a, b) интервалында дифференциалданатын және g′(x) ≠ 0 болса, онда осы интервалда x=c нүктесі табылып

Коши теоремасытеңдігі орындалады. Бұл теңдік Кошидің ақырлы өсімшелер формуласы деп аталады.